Soma de uma progressão aritmética e geométrica
Aplicações na Matemática Financeira
EXEMPLO 1
CASO DAS TABELAS DO CADERNO DO ALUNO - S.A.3
Os 200 reais depositados no primeiro mês tornam-se 210 reais, no segundo mês, 220 reais,no terceiro mês , e assim por diante, tornando-se,ao final, 280 reais. Os 200 reais depositados no segundo mês , de modo análogo , convertem-se em 270 reais, ao final de sete meses de aplicação . Seguindo o raciocínio , o saldo final da aplicação será o resultado da adição dos valores da ultima coluna da tabela, que são os termos de uma PA:
Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 + 260 + 270 + 280 = 1960
Ou , utilize a soma da P.A.
Saldo final = (210 + 280) * 8 = 1 960
2
Portanto, o saldo final da aplicação será igual a R$ 1 960,00.
A soma dos valores da ultima coluna da tabela fornece o total capitalizado. Trata-se
da soma dos termos de uma PG de razão 1,05.
S = 200 * (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 + 1,056 + 1,057 + 1,058)
S = 200 * an * q – a1
q – 1
= 200 * 1,058 * 1,05 – 1,05
1,05 – 1
Simplificando inicialmente a expressão
S = 200 * 1,058 * 1,05 – 1,05
1,05 – 1
(Colocando 1,05 em evidencia.)
S = 200 * 1,05 * (1,058 – 1)
0,05
(Dividindo 1,05 por 0,05.)
S = 200 * 21 * (1,058 – 1) =
S= 2005, 31.
EXEMPLO 2.
Vamos analisar, como exemplo, o caso do financiamento da compra de um automóvel , que custa R$ 10 mil e será pago em 24 parcelas fixas e mensais, com juros de 5% ao mês . Em primeiro lugar,vamos representar o calculo da parcela de financiamento, no caso de os juros serem simples.
- Com taxa de juros simples.
Os R$ 10 mil financiados deverão ser corrigidos e devolvidos pelo comprador do bem, ao final dos 24 meses. Assim, o primeiro passo e calcular o juro total da aplicação em juros simples, ou seja, 24 * 5% = 120%. O valor de R$ 10 mil devera ser devolvido corrigido em 120%, isto e, deverão ser devolvidos R$ 22 mil. Ocorre que o comprador não devolve esse valor de uma única vez, mas sim em parcelas mensais. Assim, o próximo passo e calcular o valor da parcela, e nesse ponto e necessário se lembrar do exemplo anterior, da capitalização a juros simples. Supomos, entao, que certa parcela P e capitalizada mensalmente, durante 24 meses, a juros simples de 5%. Nessa condicao, ao final dos 24 meses, tera sido capitalizado um valor total igual ao resultado da seguinte soma:
S = P * (1,05 + 1,10 + 1,15 + … + 2,15 + 2,20).
Os porcentuais, nesse caso, formam uma PA. Calculemos a soma desses porcentuais.
S = P * (a1 + an) * n
2
22 000= P * (1,05 + 2,20) * 24
2
22 000= P *39
Como a soma S deve coincidir com o valor corrigido do final do financiamento, isto e, S = 22 000, a parcela mensal P pode ser assim obtida:
22 000 = P * 39
P= 22000
39
P = 564,10.
Portanto, a juros simples, o valor da parcela mensal é igual a R$ 564,10.
Perceba que, apesar de as prestações serem todas iguais a R$ 564,10, a simples multiplicação desse valor pelo numero de prestações ,que, neste caso, e 24, não tem como resultado o valor corrigido da divida (R$ 22 mil). Essa diferença acontece porque a primeira parcela de R$ 564,10 tem, hoje, um valor que não será o mesmo daqui a 24 meses. Essa consideração vale para todas as parcelas.
- Com taxa de juros compostos
Da mesma forma que no caso dos juros simples, discutido anteriormente, o valor financiado deve ser corrigido para compor o pagamento final. Nesse caso, trata--se de corrigir R$ 10 mil, em 24 meses, a juros compostos de 5%, o que implica multiplicarmos 10 000 por 1,0524. Isso feito, teremos R$ 32 251,00. Mas esse valor não e devolvido de uma única vez, ao final do financiamento, e sim em parcelas mensais.
Para o calculo do valor dessa parcela, devemos imaginar alguém que deposite, mensalmente, um valor P, a juros compostos de 5%, durante 24 meses. Nesse caso, o valor total depositado será igual ao resultado da seguinte adição :
S = P * (1,05 + 1,052 + 1,053 + ... + 1,0524).
O valor de S, como observado anteriormente, e R$ 32 251,00. Para o calculo da parcela P, será preciso calcular a soma da PG formada pelos termos dentro dos parênteses .
32 251 = P *an * q – a1
q – 1
32 251= P *1,0524 * 1,05 – 1,05
1,05 – 1
32 251 = P * 1,05 * (1,0524 – 1) ⇒ COLOQUE O NUMERO 1,05 EM EVIDENCIA
0,05
= P * 21 * (1,0524 – 1)
Dado que 1,0524 = 3,225, fazemos:
32 251 = P * 21 * (3,225 – 1)
32 251 = P * 46,725
P= 32 251
46,725
P = 690,23
Portanto, a juros compostos, a parcela de financiamento devera ser igual a R$ 690,23.
RECADINHO DO CORAÇÃO
Queridos alunos, está aí os exemplos conforme combinados.
Abraços,
Prof. Mara
